Вступ
На початку цього року тріо математиків вирішило зробити лимонад із лимонів — і в результаті вийшло великий прогрес на проблему, над якою математики розмірковували століттями.
Троє якраз завершували проект і думали про наступні кроки, коли наприкінці березня двоє з них... Левент Альпеге Гарвардського університету і Арі Шнідман Єврейського університету в Єрусалимі — заразилися Covid-19, окремо, але майже одночасно. Багато людей зробили б перерву за таких обставин, але третій член команди, Манджул Бхаргава Прінстонського університету запропонував протилежне. Він припустив, що збільшення щотижневих зустрічей Zoom до трьох-чотирьох разів на тиждень може відволікти його хворих співробітників від їхніх симптомів. Карантин, вирішили троє, міг би стати можливістю спокійно подумати.
Під час цих зустрічей вони розглядали одне з найдавніших питань у теорії чисел: скільки цілих чисел можна записати у вигляді суми двох кубічних дробів або, як їх називають математики, раціональних чисел? Число 6, наприклад, можна записати як (17/21)3 + (37/21)3, а 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Математики десятиліттями підозрювали, що половину всіх цілих чисел можна записати таким чином. Так само, як у випадку з непарними та парними числами, ця властивість ділить цілі числа на два рівні: ті, які є сумою двох кубів, і ті, які не є.
Але ніхто не зміг довести це чи навіть визначити пропорцію цілих чисел, які потрапляють у кожен табір. Наскільки було відомо математикам, табір, що складається із сум раціональних кубів, міг бути зникаюче малим — або міг містити майже всі цілі числа. Математики підрахували що, якщо гіпотеза Бірча та Свіннертона-Дайєра вірна (як поширена думка), приблизно 59% чисел до 10 мільйонів є сумою двох раціональних кубів. Але такі дані можуть, у кращому випадку, дати підказки про те, як може поводитися решта числової лінії.
На відміну від непарних і парних чисел, «ці два табори є тонкими». Баррі Мазур з Гарварду. Не існує тесту для визначення того, які числа належать до якого табору, який, як відомо, працює для всіх чисел. Математики придумали тести, які є сильними кандидатами, але наразі кожен має певний недолік — або математики не можуть довести, що тест завжди приведе до висновку, або вони не можуть довести, що висновок правильний.
Труднощі розуміння суми кубів і кубічних рівнянь у більш загальному плані були «постійним збентеженням для теоретиків чисел», сказав Бхаргава. Він отримав медаль Філдса у 2014 році в частині за його робота над раціональними рішеннями до кубічних рівнянь, відомих як еліптичні криві, окремим випадком яких є суми двох кубів.
Тепер, в папір Альпеге, Бхаргава та Шнідман, опубліковані в Інтернеті наприкінці жовтня, показали, що принаймні 2/21 (приблизно 9.5%) і щонайбільше 5/6 (приблизно 83%) цілих чисел можна записати як суму двох кубічних дробів.
Питання про суми кубів — це не просто курйоз. Еліптичні криві мають дуже складну структуру, яка змусила їх стати центром багатьох областей як чистої, так і прикладної математики, зокрема дозволяючи криптографам створювати потужні шифри. Гіпотеза Берча та Свіннертона-Дайєра, центральне питання в галузі, має винагороду в 1 мільйон доларів як одну з проблем Премії тисячоліття Інституту математики Клея.
Нова робота базується на наборі інструментів, які Бхаргава розробив протягом останніх 20 років разом із колегами, щоб вивчити всю сім'ю еліптичних кривих. Розуміння суми двох кубів означає аналіз набагато меншої сім’ї, і «чим менша сім’я, тим складніша проблема». Петро Сарнак Інституту перспективних досліджень у Прінстоні.
Ця конкретна сім'я здавалася «недосяжною», додав Сарнак. «Я б сказав: «Це виглядає надто важко, надто важко».
Фазовий перехід
На відміну від сум кубічних дробів, яких, здається, дуже багато, навряд чи цілі числа є сумою двох квадратів дробів. На початку 1600-х років математики Альбер Жірар і П’єр де Ферма розробили простий тест для визначення того, які цілі числа є сумою двох квадратів: розкладіть своє число на прості числа, а потім перевірте показник степеня кожного простого числа, що має залишок 3. коли ви ділите його на 4. Якщо ці показники парні, ваше число є сумою двох квадратів дробів; інакше це не так. Наприклад, 490 розкласти на 21 × 51 × 72. Єдиний із цих множників, який має залишок 3 при діленні на 4, це 7, а 7 має парний показник. Отже, 490 — це сума двох квадратів (для допитливих — 7).2 + 212).
Переважна більшість чисел не проходить перевірку парного показника. Якщо ви навмання вибираєте ціле число, ймовірність того, що воно є сумою двох квадратів дробів, фактично дорівнює нулю. Математики вважають, що те саме стосується сум двох дробів у четвертому чи п’ятому степені чи будь-якому ступені, більшому за три. Лише з сумами кубів раптово виникає достаток.
Математики звикли, що кубічні рівняння поводяться інакше, ніж у всіх інших степенях. Серед рівнянь, які складаються з двох змінних (наприклад, рівняння суми двох кубів), рівняння, старший показник яких дорівнює 1 або 2, як правило, добре зрозумілі — як правило, вони або не мають раціональних розв’язків, або їх нескінченно багато, і їх, як правило, легко знайти. скажи який. Між тим, рівняння, старший показник яких дорівнює 4 або більше, зазвичай мають лише кінцеве бризкання раціональних рішень.
Кубічні рівняння, навпаки, можуть мати скінченну кількість розв’язків, нескінченну кількість або взагалі не мати. Ці рівняння представляють своєрідний фазовий перехід між показниками нижче 3 і показниками вище, відображаючи явища, які ніколи не спостерігаються в цих інших налаштуваннях. «Куби різні в усіх відношеннях», — сказав Мазур.
На відміну від рівнянь з нижчими показниками, куби надзвичайно важко зрозуміти. Немає загального методу пошуку або навіть підрахунку раціональних розв’язків кубів, який, як було доведено, завжди працює.
«Навіть з усією обчислювальною потужністю, якою ми володіємо, якщо ви дасте мені еліптичну криву з дуже великими коефіцієнтами, я не обов’язково знаю, скільки раціональних рішень вона має», — сказав Вей Хо, колишній учень Бхаргави, який є в даний час запрошений професор в Інституті перспективних досліджень.
У задачі про суму двох кубів задіяні дроби можуть бути величезними: число 2,803, наприклад, є сумою двох кубічних дробів, знаменник кожного з яких має 40 цифр. І якщо ми подивимося на мільйонні числа, Бхаргава сказав, що багато дробів «включатимуть більше цифр, ніж може поміститися на всьому папері цього світу».
Матриці відображення
Оскільки еліптичні криві настільки некеровані, теоретики чисел шукають способи зв’язати їх із більш піддатливими об’єктами. У квітні цього року, поки Альпеге та Шнідман боролися з Covid, вони та Бхаргава продовжили роботу, яку останній раніше провів із Хо, і з’ясували, що коли рівняння суми кубів має раціональні розв’язки, є спосіб побудувати принаймні один особливий 2 × 2 × 2 × 2 матриця — чотиривимірний аналог більш звичної нам двовимірної матриці. «Ми почали складати план підрахунку цих матриць 2 × 2 × 2 × 2”, – написали троє.
Для цього команда взяла участь у двох класичних предметах, кожен з яких вивчався більше століття. Одна з них — це «геометрія чисел», яка передбачає підрахунок точок решітки всередині різних геометричних фігур. Ця тема переживає ренесанс у сфері еліптичних кривих протягом останніх 20 років, значною мірою завдяки роботі Бхаргави та його співробітників.
Інша техніка, відома як метод кола, виникла в роботі легендарного індійського математика Шрініваси Рамануджана та його давнього співробітника Г.Х. Харді на початку 20 ст. «Це перше велике застосування поєднання методу кола з цими методами геометрії чисел», — сказав Хо. «Ця частина дуже крута».
Використовуючи ці методи, тріо змогло показати, що принаймні для 1/6 усіх цілих чисел не існує матриці 2 × 2 × 2 × 2. Це означає, що для цих чисел рівняння суми кубів не має раціональних розв’язків. Отже, не більше 5/6 цілих чисел, або близько 83%, може бути сумою кубів двох дробів.
У зворотному напрямку вони виявили, що принаймні 5/12 усіх цілих чисел мають точно одну відповідну матрицю. Спокусливо зробити висновок, що ці числа є сумою двох кубів, але це не випливає автоматично. Кожне число, яке є сумою двох кубів, має матрицю, але це не обов’язково означає, що вірно зворотне: кожне число з матрицею є сумою двох кубів.
Альпеге, Бхаргаві та Шнідману знадобилося те, що дослідники еліптичних кривих називають зворотною теоремою — те, що бере інформацію про кубічне рівняння та використовує її для побудови раціональних рішень. Конверсні теореми утворюють процвітаючу підгалузь теорії еліптичних кривих, тому тріо звернулося до двох експертів-практиків цієї підгалузі: Ашай Бурунгале Техаського університету в Остіні та Прінстона. Бурунґейл і Скіннер змогли показати, що принаймні деякий час, якщо ціле число має єдину пов’язану матрицю, то це число має бути сумою двох раціональних кубів. Їхня теорема, яка, по суті, доводить відповідну частину гіпотези Берча та Свіннертона-Дайєра, представлена в статті як тристорінковий додаток, який Сарнак описує як дивовижний сам по собі.
Бурунґейл і Скіннер не довели свою теорему для кожного цілого числа за допомогою точно однієї матриці — їм довелося накласти технічну умову, яка скоротила підмножину 5/12 до 2/21, або приблизно 9.5%, усіх цілих чисел. Але Бхаргава оптимістично налаштований, що Бурунгале та Скіннер або інші дослідники в їхній місцевості досягнуть решти 5/12 (загалом близько 41%) незабаром. «Їхні методи постійно вдосконалюються», — сказав Бхаргава.
Щоб довести повну гіпотезу — що рівно половина всіх цілих чисел є сумою двох кубів — зрештою потрібно буде розглянути набір чисел, які мають більше ніж одну пов’язану матрицю. Цей набір, який Бхаргава називає «дуже туманним», включає як числа, які є сумою двох кубів, так і ті, які такими не є. За його словами, робота з такими цифрами потребуватиме абсолютно нових ідей.
На даний момент дослідники щасливі, що нарешті вирішили питання щодо значної частки цілих чисел, і прагнуть продовжити досліджувати методи доказу. «Це одна з тих прекрасних речей: ви можете дуже легко пояснити результат, але інструменти дуже, дуже на передньому краї теорії чисел», — сказав Сарнак.
